Exercice 1

L'égalité $a = 24b + 17$ est la division euclidienne de $a$ par $b$ si et seulement si le reste vérifie $0 \leqslant 17 < b$, c'est-à-dire $b \geqslant 18$ (théorème 1). La condition $a \leqslant 500$ s'écrit $24b \leqslant 483$, soit $b \leqslant 20$, puisque $\Big\lfloor \frac{483}{24} \Big\rfloor = 20$. Il reste donc $b \in \{18, 19, 20\}$. $$\boxed{(a, b) \in \{(449, 18), \ (473, 19), \ (497, 20)\}}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est d'oublier que le reste doit être strictement inférieur au diviseur. Avec $b = 10$, l'égalité $257 = 24 \times 10 + 17$ est vraie, mais ce n'est pas la division euclidienne de $257$ par $10$, dont le quotient est $25$.