Exercice 8

Dans chaque cas, on écrit l'algorithme d'Euclide en numérotant les lignes, puis on isole le dernier reste non nul et l'on remonte, en remplaçant à chaque étape le plus petit reste par son expression tirée de la ligne au-dessus.

(i) On a $$438 = 8 \times 51 + 30, \quad 51 = 1 \times 30 + 21, \quad 30 = 1 \times 21 + 9, \quad 21 = 2 \times 9 + 3, \quad 9 = 3 \times 3.$$ Le dernier reste non nul est $3$, et la remontée donne $$3 = 21 - 2 \times 9 = 3 \times 21 - 2 \times 30 = 3 \times 51 - 5 \times 30 = 43 \times 51 - 5 \times 438.$$

(ii) On a $1320 = 1 \times 720 + 600$, $720 = 1 \times 600 + 120$ et $600 = 5 \times 120$, puis $$120 = 720 - 600 = 720 - (1320 - 720) = 2 \times 720 - 1320.$$

(iii) On a $$120 = 5 \times 23 + 5, \quad 23 = 4 \times 5 + 3, \quad 5 = 1 \times 3 + 2, \quad 3 = 1 \times 2 + 1, \quad 2 = 2 \times 1,$$ puis $$1 = 3 - 2 = 2 \times 3 - 5 = 2 \times 23 - 9 \times 5 = 47 \times 23 - 9 \times 120.$$

(iv) On a $$8136 = 16 \times 492 + 264, \quad 492 = 1 \times 264 + 228, \quad 264 = 1 \times 228 + 36, \quad 228 = 6 \times 36 + 12, \quad 36 = 3 \times 12,$$ puis $$12 = 228 - 6 \times 36 = 7 \times 228 - 6 \times 264 = 7 \times 492 - 13 \times 264 = 215 \times 492 - 13 \times 8136.$$

$$\boxed{8136 \wedge 492 = 12 = 8136 \times (-13) + 492 \times 215}$$ Vérification : $105\,780 - 105\,768 = 12$. ✓

À retenir. Le couple de Bézout n'est pas unique : en (ii), $(-1 + 6k, \ 2 - 11k)$ convient aussi pour tout $k$, puisque $1320 \times 6 = 720 \times 11$. Ce qu'on obtient en remontant n'est qu'un couple parmi d'autres ; la section 12.4 décrit tous les autres.