Exercice 9

On cherche une combinaison qui élimine $k$ : $9(2k + 1) - 2(9k + 4) = 1$. Tout diviseur commun divise donc $1$ (proposition 1), et $$\boxed{(2k + 1) \wedge (9k + 4) = 1}$$

De même, $2(9k + 4) - 9(2k - 1) = 17$, donc $d = (2k - 1) \wedge (9k + 4)$ divise $17$, qui est premier : $d \in \{1, 17\}$. Or $17 \mid 2k - 1$ équivaut à $2k \equiv 1 \;[17]$, soit, en multipliant par $9$, inverse de $2$ modulo $17$, à $k \equiv 9 \;[17]$. Dans ce cas, $9k + 4 \equiv 85 \equiv 0 \;[17]$, donc $17$ divise aussi $9k + 4$. $$\boxed{(2k - 1) \wedge (9k + 4) = \begin{cases} 17 & \text{si } k \equiv 9 \;[17], \\ 1 & \text{sinon.} \end{cases}}$$ Vérification : pour $k = 9$, $17 \wedge 85 = 17$. ✓