Exercice 10

Soit $d = u_{n} \wedge u_{n + 1}$. Il divise $u_{n + 1} - u_{n} = 2n + 1$, puis $$4u_{n} - (2n + 1)(2n - 1) = 4n^{2} + 4 - (4n^{2} - 1) = 5.$$ Donc $d \in \{1, 5\}$. On cherche quand $5$ divise les deux termes. Les carrés modulo $5$ valent $0, 1, 4, 4, 1$ pour $n \equiv 0, 1, 2, 3, 4$, donc $5 \mid n^{2} + 1$ si et seulement si $n \equiv 2$ ou $3 \;[5]$, et $5 \mid (n + 1)^{2} + 1$ si et seulement si $n \equiv 1$ ou $2 \;[5]$. $$\boxed{u_{n} \wedge u_{n + 1} = 5 \text{ si } n \equiv 2 \;[5], \quad 1 \text{ sinon}}$$ Vérification : $u_{2} \wedge u_{3} = 5 \wedge 10 = 5$, et $u_{7} \wedge u_{8} = 50 \wedge 65 = 5$. ✓