Exercice 11

Soit $d_{n} = (2n + 4) \wedge (3n + 3)$. Il divise $3(2n + 4) - 2(3n + 3) = 6$, donc $d_{n} \in \{1, 2, 3, 6\}$. Les quatre valeurs sont atteintes : $d_{0} = 4 \wedge 3 = 1$, $d_{1} = 6 \wedge 6 = 6$, $d_{3} = 10 \wedge 12 = 2$ et $d_{4} = 12 \wedge 15 = 3$. $$\boxed{\{(2n + 4) \wedge (3n + 3) \mid n \in \mathbb{N}\} = \{1, 2, 3, 6\}}$$ À retenir. La combinaison qui élimine $n$ ne donne qu'un multiple du PGCD ; il faut ensuite vérifier quelles valeurs sont réellement atteintes. Ici, $2 \mid d_{n}$ si et seulement si $n$ est impair, et $3 \mid d_{n}$ si et seulement si $n \equiv 1 \;[3]$.