Exercice 65

Idée. On calcule $v_{2}(3^{n} - 1)$ en factorisant comme à l'exercice 34, puis on compare à $n$.

Si $n$ est impair, $3^{n} \equiv 3 \;[8]$, puisque $3^{2} \equiv 1 \;[8]$, donc $3^{n} - 1 \equiv 2 \;[8]$ et $v_{2}(3^{n} - 1) = 1$.

Si $n = 2^{a}m$ avec $a \geqslant 1$ et $m$ impair, on factorise $a$ fois : $$3^{n} - 1 = (3^{m} - 1)(3^{m} + 1)(3^{2m} + 1)(3^{4m} + 1) \cdots \big(3^{2^{a - 1}m} + 1\big).$$ On a $v_{2}(3^{m} - 1) = 1$ ; comme $3^{m} \equiv 3 \;[8]$, $v_{2}(3^{m} + 1) = 2$ ; enfin, pour $i \geqslant 1$, $3^{2^{i}m}$ est un carré impair, donc congru à $1$ modulo $8$, et $v_{2}(3^{2^{i}m} + 1) = 1$. Au total, $v_{2}(3^{n} - 1) = 1 + 2 + (a - 1) = a + 2$.

La condition $2^{n} \mid 3^{n} - 1$ s'écrit $n \leqslant v_{2}(3^{n} - 1)$. Pour $n$ impair, il faut $n \leqslant 1$. Pour $n$ pair, il faut $2^{a}m \leqslant a + 2$, ce qui impose $m = 1$, puis $2^{a} \leqslant a + 2$, soit $a \in \{1, 2\}$. $$\boxed{n \in \{1, 2, 4\}}$$ Vérification : $3 - 1 = 2$, $9 - 1 = 8$ et $81 - 1 = 80 = 16 \times 5$. ✓