Exercice 64

Idée. Le produit $(k - 1)k(k + 1) = k(k^{2} - 1)$ est formé de deux facteurs premiers entre eux, qui doivent donc être eux-mêmes des puissances $n$-ièmes ; or deux puissances $n$-ièmes ne diffèrent pas de $1$.

Soit $k \geqslant 2$ et supposons $k(k^{2} - 1) = a^{n}$. Comme $k^{2} - (k^{2} - 1) = 1$, on a $k \wedge (k^{2} - 1) = 1$. Pour tout nombre premier $p$, $v_{p}(k) + v_{p}(k^{2} - 1) = n\,v_{p}(a)$, et l'une des deux valuations est nulle : $n$ divise donc toutes les valuations de $k$ et de $k^{2} - 1$. Comme à l'exercice 32, on obtient $k = b^{n}$ et $k^{2} - 1 = c^{n}$, avec $c \geqslant 1$ car $k^{2} - 1 \geqslant 3$. Alors $(b^{2})^{n} = c^{n} + 1$, donc $b^{2} > c$, soit $b^{2} \geqslant c + 1$. Mais la formule du binôme donne, puisque $n \geqslant 2$, $$(b^{2})^{n} \geqslant (c + 1)^{n} \geqslant c^{n} + nc^{n - 1} + 1 > c^{n} + 1,$$ ce qui est absurde. $$\boxed{\text{le produit de trois entiers consécutifs strictement positifs n'est jamais une puissance } n\text{-ième}}$$