Exercice 63

Idée. Les valuations montrent que le plus petit divise le plus grand, et l'on se ramène à $x^{k - 1} = k$.

Les couples $(x, x)$ conviennent. Soit une solution avec $x < y$. Pour tout nombre premier $p$, on a $y\,v_{p}(x) = x\,v_{p}(y)$, donc $v_{p}(x) = \frac{x}{y}v_{p}(y) \leqslant v_{p}(y)$, et $x \mid y$ par la proposition 10 (ii). On écrit $y = kx$ avec $k \geqslant 2$. L'équation devient $x^{kx} = (kx)^{x}$, soit, en prenant la racine $x$-ième, $x^{k} = kx$, puis $x^{k - 1} = k$. Comme $x = 1$ donnerait $k = 1$, on a $x \geqslant 2$, donc $k = x^{k - 1} \geqslant 2^{k - 1}$. Or $2^{k - 1} > k$ pour $k \geqslant 3$, par récurrence ; il reste $k = 2$, puis $x = 2$ et $y = 4$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{(x, x) \mid x \in \mathbb{N}^{*}\} \cup \{(2, 4), (4, 2)\}}$$