Exercice 62

Idée. Un carré a toutes ses valuations paires : on compare celles de $2$ et de $5$.

Le nombre s'écrit $N = 6 \times R \times 10^{k}$, où $R$ est le repunit à $666$ chiffres et $k \in \mathbb{N}$ le nombre de zéros. Comme $R$ est impair et se termine par $1$, on a $v_{2}(R) = v_{5}(R) = 0$, donc $$v_{2}(N) = 1 + k \qquad \text{et} \qquad v_{5}(N) = k.$$ Si $N$ était un carré, ces deux entiers consécutifs seraient pairs, ce qui est impossible. $$\boxed{\text{un tel nombre n'est jamais un carré parfait}}$$ Le nombre $666$ de chiffres ne joue aucun rôle : le résultat vaut pour tout nombre de $6$.