Exercice 61

1. On dira qu'un entier $b \in \mathbb{N}^{*}$ est admissible si tous ses diviseurs premiers appartiennent à $E$. L'entier $1 = \frac{1}{1}$ appartient à $A_{E}$. Si $x = \frac{a}{b}$ et $y = \frac{c}{d}$, avec $b$ et $d$ admissibles, alors $$x - y = \frac{ad - bc}{bd} \qquad \text{et} \qquad xy = \frac{ac}{bd},$$ et $bd$ est admissible, puisqu'un nombre premier qui divise $bd$ divise $b$ ou $d$ (lemme d'Euclide). Ainsi $A_{E}$ contient $1$ et est stable par différence et par produit. $$\boxed{A_{E} \text{ est un sous-anneau de } \mathbb{Q}}$$ Pour $E = \varnothing$, seul $b = 1$ est admissible, et $A_{\varnothing} = \mathbb{Z}$. Pour $E = \mathcal{P}$, tout $b$ est admissible, et $A_{\mathcal{P}} = \mathbb{Q}$. Pour $E = \{2, 5\}$, un rationnel $\frac{a}{2^{\alpha}5^{\beta}}$ s'écrit, avec $\gamma = \max(\alpha, \beta)$, $$\frac{a}{2^{\alpha}5^{\beta}} = \frac{a \times 2^{\gamma - \alpha}5^{\gamma - \beta}}{10^{\gamma}},$$ qui est décimal ; réciproquement, $\frac{k}{10^{n}}$ a un dénominateur admissible. Enfin, pour $E = \mathcal{P} \setminus \{2\}$, les entiers admissibles sont les entiers impairs. $$\boxed{A_{\varnothing} = \mathbb{Z}, \qquad A_{\mathcal{P}} = \mathbb{Q}, \qquad A_{\{2, 5\}} = \mathbb{D}, \qquad A_{\mathcal{P} \setminus \{2\}} = \text{anneau de l'exercice 35 du chapitre 11}}$$

2. Comme $a \wedge b = 1$, le théorème de Bézout fournit des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$. En divisant par $b$, on obtient $$\frac{1}{b} = u\,x + v.$$ Or $A$ contient $1$, donc $\mathbb{Z}$, puisqu'il est stable par somme et par opposé ; il est stable par somme et par produit, donc contient $ux + v$. Si $p$ est un nombre premier qui divise $b$, on écrit $b = pc$, et $\frac{1}{p} = c \times \frac{1}{b}$ appartient à $A$. $$\boxed{\frac{1}{b} \in A, \quad \text{et} \quad \frac{1}{p} \in A \text{ pour tout nombre premier } p \mid b}$$ Par exemple, si $\frac{3}{10} \in A$, la relation $3 \times 7 - 10 \times 2 = 1$ donne $\frac{1}{10} = 7 \times \frac{3}{10} - 2 \in A$, puis $\frac{1}{2} = 5 \times \frac{1}{10}$ et $\frac{1}{5} = 2 \times \frac{1}{10}$.

Piège. La forme irréductible est indispensable. L'anneau $A_{\{3\}}$ contient $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, mais pas $\frac{1}{6}$ : sinon il contiendrait $\frac{1}{2} = 3 \times \frac{1}{6}$, et l'on aurait $\frac{1}{2} = \frac{a}{3^{k}}$, soit $3^{k} = 2a$, ce qui est impossible puisque $3^{k}$ est impair.

3. On procède par double inclusion. Soit $x \in A$, de forme irréductible $\frac{a}{b}$. D'après la question 2, tous les diviseurs premiers de $b$ appartiennent à $E(A)$, donc $x \in A_{E(A)}$. Réciproquement, soit $x = \frac{a}{b}$ avec $b$ admissible pour $E(A)$. Par le théorème 6, $b$ s'écrit $p_{1}p_{2} \cdots p_{k}$, avec des nombres premiers $p_{i}$ non nécessairement distincts, tous dans $E(A)$ (et $k = 0$ si $b = 1$). Alors $$x = a \times \frac{1}{p_{1}} \times \cdots \times \frac{1}{p_{k}}$$ est un produit d'éléments de $A$, donc appartient à $A$. $$\boxed{A = A_{E(A)}}$$

4. On note $\Phi$ l'application $E \longmapsto A_{E}$, qui est bien à valeurs dans l'ensemble des sous-anneaux de $\mathbb{Q}$ d'après la question 1. Elle est surjective, puisque tout sous-anneau $A$ s'écrit $\Phi\big(E(A)\big)$ par la question 3. Pour l'injectivité, on montre que $E(A_{E}) = E$. Si $p \in E$, alors $\frac{1}{p} \in A_{E}$, puisque $p$ est admissible. Réciproquement, si $\frac{1}{p} \in A_{E}$, on écrit $\frac{1}{p} = \frac{a}{b}$ avec $b$ admissible ; alors $b = pa$, donc $p$ divise $b$, et $p \in E$. Ainsi, si $A_{E} = A_{E'}$, on a $E = E(A_{E}) = E(A_{E'}) = E'$. $$\boxed{E \longmapsto A_{E} \text{ est bijective, de réciproque } A \longmapsto E(A)}$$

5. Soit $A$ un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ qui soit un corps, et $p$ un nombre premier. L'élément $p$ de $A$ est non nul, donc admet un inverse dans $A$, qui est aussi un inverse de $p$ dans $\mathbb{Q}$ ; par unicité de l'inverse (chapitre 11, proposition 2), c'est $\frac{1}{p}$. Ainsi $E(A) = \mathcal{P}$, et $A = A_{\mathcal{P}} = \mathbb{Q}$ par la question 3.

Soit maintenant $A$ un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ contenant $\frac{3}{10}$, qui est sous forme irréductible. La question 2 donne $\frac{1}{2} \in A$ et $\frac{1}{5} \in A$, donc $\{2, 5\} \subset E(A)$, et $A = A_{E(A)}$ contient $A_{\{2, 5\}}$, puisqu'un entier admissible pour $\{2, 5\}$ l'est pour toute partie plus grande. Comme $A_{\{2, 5\}} = \mathbb{D}$ contient $\frac{3}{10}$, c'est le plus petit sous-anneau cherché. $$\boxed{\mathbb{Q} \text{ est le seul sous-anneau de } \mathbb{Q} \text{ qui soit un corps, et le plus petit sous-anneau contenant } \tfrac{3}{10} \text{ est } \mathbb{D}}$$ À retenir. Les sous-groupes de $\mathbb{Z}$ sont décrits par un seul entier (théorème 2) ; les sous-anneaux de $\mathbb{Q}$ le sont par une partie de $\mathcal{P}$, éventuellement infinie, et deux parties distinctes donnent deux sous-anneaux distincts. Il faut cependant prendre garde à ne pas confondre sous-anneau et sous-groupe : $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Q}, +)$ qui contient $1$, mais ce n'est pas un sous-anneau, puisque $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ n'y appartient pas ; le plus petit sous-anneau qui le contient est $A_{\{2\}}$.

Les six derniers exercices sont des problèmes à traiter en autonomie ; le corrigé indique la démarche, puis la rédige.