Exercice 42

D'après le petit théorème de Fermat, $3^{6} \equiv 1 \;[7]$, donc $3^{n}$ ne dépend que du reste de $n$ modulo $6$ :

La condition $n\,3^{n} \equiv 1 \;[7]$ s'écrit $n \equiv (3^{n})^{-1} \;[7]$. Pour chacun des six restes $j$ de $n$ modulo $6$, on cherche parmi $j, j + 6, \dots, j + 36$ l'entier congru à l'inverse modulo $7$ : on trouve $36$, $19$, $32$, $27$, $16$ et $17$. Comme $6 \wedge 7 = 1$, la condition ne dépend que de $n$ modulo $42$. $$\boxed{n \equiv 16, \ 17, \ 19, \ 27, \ 32 \text{ ou } 36 \;[42]}$$ Vérification pour $n = 16$ : $3^{16} \equiv 3^{4} \equiv 4$ et $16 \times 4 = 64 \equiv 1 \;[7]$. ✓