Exercice 41

On écrit $a = b + kn$. La formule du binôme donne $$a^{n} = b^{n} + \binom{n}{1} b^{n - 1}kn + \sum_{j = 2}^{n} \binom{n}{j} b^{n - j}k^{j}n^{j}.$$ Le deuxième terme vaut $kn^{2}b^{n - 1}$, et les suivants contiennent $n^{j}$ avec $j \geqslant 2$. $$\boxed{a^{n} \equiv b^{n} \;[n^{2}]}$$ Comme à l'exercice 6, c'est le coefficient $\binom{n}{1} = n$ qui fournit le second facteur $n$.