Exercice 40

La première congruence équivaut à $y \equiv 6 - 4x \;[12]$. En reportant dans la seconde, le système équivaut à $$\left\{ \begin{array}{l} y \equiv 6 - 4x \;[12] \\ 24 - 15x \equiv 3 \;[12] \end{array} \right.$$ La seconde ligne s'écrit $15x \equiv 21 \;[12]$, soit $3x \equiv 9 \;[12]$, c'est-à-dire $12 \mid 3(x - 3)$, ou encore $4 \mid x - 3$. On pose $x = 3 + 4k$ ; alors $6 - 4x = -6 - 16k \equiv 6 + 8k \;[12]$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{(3 + 4k, \ 6 + 8k + 12\ell) \mid (k, \ell) \in \mathbb{Z}^{2}\}}$$ Modulo $12$, il y a trois solutions : $(3, 6)$, $(7, 2)$ et $(11, 10)$. Vérification pour $(7, 2)$ : $30 \equiv 6$ et $15 \equiv 3 \;[12]$. ✓