Exercice 43

1. Modulo $5$ : $4n^{2} + 1 \equiv 0$ équivaut à $4n^{2} \equiv 4$, soit $n^{2} \equiv 1$, c'est-à-dire $n \equiv \pm 1 \;[5]$. Modulo $13$, en multipliant par $10$, inverse de $4$ : $n^{2} \equiv -10 \equiv 3$, ce qui équivaut à $n \equiv \pm 4 \;[13]$, puisque la table des carrés modulo $13$ montre que $4^{2} = 16$ et $9^{2} = 81$ sont les seuls carrés congrus à $3$. L'entier $n = 56$ vérifie $56 \equiv 1 \;[5]$ et $56 \equiv 4 \;[13]$, et tous les $56 + 65k$ aussi. $$\boxed{65 \mid 4n^{2} + 1 \text{ pour tout } n = 56 + 65k, \ k \in \mathbb{N}}$$ Vérification : $4 \times 56^{2} + 1 = 12\,545 = 65 \times 193$. ✓

2. Les puissances de $2$ sont périodiques de période $4$ modulo $5$ ($2, 4, 3, 1$) et de période $12$ modulo $13$ ($2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1$). Ainsi $5 \mid 2^{n} - 3$ si et seulement si $n \equiv 3 \;[4]$, et $13 \mid 2^{n} - 3$ si et seulement si $n \equiv 4 \;[12]$ : il y a une infinité de multiples de chaque sorte. Mais si $65$ divisait $2^{n} - 3$, on aurait $n \equiv 4 \;[12]$, donc $n \equiv 0 \;[4]$, et $n \equiv 3 \;[4]$ : c'est impossible. $$\boxed{\text{infinité de multiples de } 5 \ (n \equiv 3 \;[4]), \text{ de } 13 \ (n \equiv 4 \;[12]), \text{ aucun de } 65}$$