Exercice 44

Pour $p$ premier, le petit théorème de Fermat donne $n^{p} \equiv n \;[p]$, et donc, en multipliant par une puissance de $n$, $n^{k(p - 1) + 1} \equiv n \;[p]$ pour tout $k \in \mathbb{N}$.

• Pour $n^{5}$ : $5 = 4 \times 1 + 1 = 2 \times 2 + 1 = 1 \times 4 + 1$, donc $n^{5} \equiv n$ modulo $2$, $3$ et $5$.

• Pour $n^{7}$ : $7 = 6 \times 1 + 1 = 3 \times 2 + 1 = 1 \times 6 + 1$, donc $n^{7} \equiv n$ modulo $2$, $3$ et $7$.

Les nombres $2$, $3$, $5$, et de même $2$, $3$, $7$, sont premiers entre eux deux à deux ; on applique deux fois la proposition 7 (i). $$\boxed{30 \mid n^{5} - n \qquad \text{et} \qquad 42 \mid n^{7} - n}$$