Exercice 45

Modulo $5$, on a $15 \equiv 0$, $-7 \equiv 3$ et $9 \equiv 4$ : une solution vérifierait $3y^{2} \equiv 4$, soit, en multipliant par $2$, inverse de $3$, $y^{2} \equiv 8 \equiv 3 \;[5]$. Or les carrés modulo $5$ sont $0, 1, 4, 4, 1$. $$\boxed{\text{aucune solution : } 3 \text{ n'est pas un carré modulo } 5}$$ À retenir. Pour montrer qu'une équation n'a pas de solution entière, on cherche un module pour lequel elle n'en a pas ; le choix de $5$ est dicté par le coefficient $15$, qui disparaît.