Exercice 46

1. Si $x = 3k + r$, la formule du binôme donne $x^{3} = 27k^{3} + 27k^{2}r + 9kr^{2} + r^{3} \equiv r^{3} \;[9]$. Les cubes modulo $9$ sont donc $0^{3} = 0$, $1^{3} = 1$ et $2^{3} = 8$. $$\boxed{x^{3} \equiv n \;[9] \text{ a une solution si et seulement si } n \equiv 0, \ 1 \text{ ou } 8 \;[9]}$$

2. Chaque cube est congru à $0$, $1$ ou $-1$ modulo $9$, donc une somme de trois cubes est congrue à un entier de $[\![-3\,;3]\!]$, c'est-à-dire à $0, 1, 2, 3, 6, 7$ ou $8$. Or $11\,111 \equiv 5 \;[9]$, par la somme de ses chiffres. $$\boxed{a^{3} + b^{3} + c^{3} \neq 11\,111}$$

3. Comme $117 = 9 \times 13$, une solution vérifierait $x^{3} \equiv 5 \;[9]$, ce qui est impossible d'après la question 1. $$\boxed{x^{3} + 117y^{3} = 5 \text{ n'a pas de solution dans } \mathbb{Z}^{2}}$$ La démonstration élémentaire tient en une ligne ; elle ne dit rien, en revanche, des solutions rationnelles, que l'approche de Finkelstein et London permet d'étudier.