Exercice 47

On travaille modulo $9$, où un entier est congru à la somme de ses chiffres. Comme $2^{6} = 64 \equiv 1 \;[9]$, on a $2^{29} = (2^{6})^{4} \times 2^{5} \equiv 32 \equiv 5 \;[9]$. Si $m$ est le chiffre manquant, la somme des neuf chiffres vaut $45 - m \equiv -m \;[9]$. Donc $-m \equiv 5$, soit $m \equiv 4 \;[9]$, et $m = 4$ puisque $0 \leqslant m \leqslant 9$. $$\boxed{\text{le chiffre manquant est } 4}$$ Vérification : $2^{29} = 536\,870\,912$. ✓