Exercice 48

On a $36 - 25 = 11$, donc le minimum vaut au plus $11$. Les puissances de $36$ se terminent par $6$ et celles de $5$ par $5$, donc $36^{n} - 5^{m}$ se termine par $1$ s'il est positif, et $5^{m} - 36^{n}$ se termine par $9$ s'il est positif. Les seules valeurs inférieures à $11$ possibles pour $|36^{n} - 5^{m}|$ sont donc $1$ et $9$.

• $36^{n} - 5^{m} = 1$ est impossible : $36 \equiv 1 \;[7]$, donc $7$ divise $36^{n} - 1 = 5^{m}$, ce qui contredit le lemme d'Euclide.

• $5^{m} - 36^{n} = 9$ est impossible : $3$ diviserait $5^{m} = 9 + 36^{n}$.