Exercice 49

Le repunit à $k$ chiffres vaut $R_{k} = \frac{10^{k} - 1}{9}$. Il est impair et se termine par $1$, donc ni $2$ ni $5$ ne divisent un repunit. Le nombre $3$ divise $R_{3} = 111 = 3 \times 37$. Soit enfin $p$ premier différent de $2$, $3$ et $5$. Comme $p \nmid 10$, le petit théorème de Fermat donne $p \mid 10^{p - 1} - 1 = 9R_{p - 1}$, et comme $p \wedge 9 = 1$, le lemme de Gauss donne $p \mid R_{p - 1}$. $$\boxed{\text{les nombres premiers qui divisent un repunit sont tous les nombres premiers sauf } 2 \text{ et } 5}$$ Par exemple, $7 \mid R_{6} = 111\,111 = 3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37$.