ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 12 — Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ · Entiers premiers entre eux

Exercice 13

Démonstration

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ .

1. Montrer que $n^{2} + n$ et $2n + 1$ sont premiers entre eux.

2. Montrer que $3n^{2} + 2n$ et $n + 1$ sont premiers entre eux.

Corrigé

Dans les deux cas, on exhibe une relation de Bézout, et le théorème 4 conclut.

1. On a $(2n + 1)^{2} = 4(n^{2} + n) + 1$ , d'où $\boxed{(2n + 1) \times (2n + 1) + (n^{2} + n) \times (-4) = 1}$

2. La division de $3n^{2} + 2n$ par $n + 1$ donne $3n^{2} + 2n = (n + 1)(3n - 1) + 1$ , d'où $\boxed{(3n^{2} + 2n) \times 1 + (n + 1) \times (1 - 3n) = 1}$

Énoncé PDF, p. 3 Corrigé PDF, p. 5 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique

Thèmes

entiers premiers entre eux, bézout, nombres premiers

Notions

PGCD, nombre premier