Exercice 14

On applique la méthode du cours (section 12.4) : on calcule le PGCD, on cherche une solution particulière, puis on conclut par le lemme de Gauss.

(i) L'algorithme d'Euclide donne $247 = 221 + 26$, $221 = 8 \times 26 + 13$ et $26 = 2 \times 13$, donc $221 \wedge 247 = 13$. Comme $13$ divise $221x + 247y$ pour tous entiers $x$ et $y$, et ne divise pas $15$ : $$\boxed{\text{l'équation } 221x + 247y = 15 \text{ n'a aucune solution}}$$

(ii) On divise par $13$ : l'équation équivaut à $17x + 19y = 1$. En remontant l'algorithme $19 = 17 + 2$, $17 = 8 \times 2 + 1$, on trouve $$1 = 17 - 8 \times 2 = 17 - 8 \times (19 - 17) = 17 \times 9 + 19 \times (-8).$$ Si $(x, y)$ est solution, $17(x - 9) = -19(y + 8)$ ; comme $17 \wedge 19 = 1$, le lemme de Gauss donne $19 \mid x - 9$, soit $x = 9 + 19k$, puis $y = -8 - 17k$. Réciproquement, ces couples conviennent. $$\boxed{\mathcal{S} = \{(9 + 19k, \ -8 - 17k) \mid k \in \mathbb{Z}\}}$$

(iii) On divise par $3 = 27 \wedge 33$ : l'équation équivaut à $9x - 11y = 33$, qui a la solution évidente $(0, -3)$. Si $(x, y)$ est solution, $9x = 11(y + 3)$, donc $11 \mid x$ par le lemme de Gauss : $x = 11k$, puis $y = 9k - 3$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{(11k, \ 9k - 3) \mid k \in \mathbb{Z}\}}$$

(iv) Le couple $(2, -2)$ est solution. Si $(x, y)$ en est une autre, $5(x - 2) = -3(y + 2)$, donc $3 \mid x - 2$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{(2 + 3k, \ -2 - 5k) \mid k \in \mathbb{Z}\}}$$ Piège. En (iii), l'erreur la plus répandue est de chercher un couple de Bézout de $27$ et $33$ avant de simplifier : on gagne du temps en divisant d'abord l'équation par le PGCD, qui divise bien $99$.