Exercice 15

On factorise : $n^{4} - n^{2} = n^{2}(n - 1)(n + 1)$.

Divisibilité par $3$. Parmi les trois entiers consécutifs $n - 1$, $n$, $n + 1$, l'un est multiple de $3$.

Divisibilité par $4$. Si $n$ est pair, $4 \mid n^{2}$. Si $n$ est impair, $n - 1$ et $n + 1$ sont pairs, et $4 \mid (n - 1)(n + 1)$.

Comme $3 \wedge 4 = 1$, la proposition 7 (i) conclut. $$\boxed{12 \mid n^{4} - n^{2}}$$ Piège. On ne peut pas remplacer $3$ et $4$ par $2$ et $6$ : un entier divisible par $2$ et par $6$ n'est pas nécessairement divisible par $12$ ($6$ en est un exemple). L'hypothèse « premiers entre eux » est indispensable.