Exercice 16

1. Si $(x, y)$ est solution, $d$ divise $x$, qui divise $m$ : il faut $d \mid m$. Réciproquement, si $d \mid m$, le couple $(d, m)$ convient, puisque $d \wedge m = d$ et $d \vee m = m$. $$\boxed{\text{le système a une solution si et seulement si } d \mid m}$$

2. On écrit $x = 12a$ et $y = 12b$ avec $a \wedge b = 1$ (proposition 5). Alors $x \vee y = 12ab$ d'après la proposition 7 (iii), et la condition devient $ab = 30$ avec $a \wedge b = 1$. Comme $30 = 2 \times 3 \times 5$, chaque facteur premier va entièrement dans $a$ ou dans $b$ : il y a $2^{3} = 8$ couples $(a, b)$. $$\boxed{(x, y) \in \{(12, 360), (24, 180), (36, 120), (60, 72)\} \text{ et les quatre couples symétriques}}$$

3. De même $x = 18a$, $y = 18b$ avec $a \wedge b = 1$ et $a + b = 20$. Or $a \wedge b = a \wedge (a + b) = a \wedge 20$ (proposition 4) : il faut que $a$ soit impair et non multiple de $5$, avec $1 \leqslant a \leqslant 19$, soit $a \in \{1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19\}$. $$\boxed{(x, y) \in \{(18, 342), (54, 306), (126, 234), (162, 198), (198, 162), (234, 126), (306, 54), (342, 18)\}}$$