Exercice 17

On note $d = x \wedge y$, et l'on écrit $x = da$, $y = db$ avec $a \wedge b = 1$ ; alors $x \vee y = dab$.

(i) Comme $d \times (x \vee y) = xy$, l'équation, multipliée par $d$, devient $d^{2} + xy = dx + dy$, c'est-à-dire $(x - d)(y - d) = 0$. Ainsi $x = d$ ou $y = d$, c'est-à-dire $x \mid y$ ou $y \mid x$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{(x, y) \in (\mathbb{N}^{*})^{2} \mid x \text{ divise } y \text{ ou } y \text{ divise } x\}}$$

(ii) L'équation s'écrit $d + dab = db + 9$, soit $d\big(1 + b(a - 1)\big) = 9$. Le diviseur $d$ de $9$ vaut $1$, $3$ ou $9$.

• Si $d = 9$ : $b(a - 1) = 0$, donc $a = 1$, et $b$ est quelconque. On obtient $(9, 9b)$.

• Si $d = 3$ : $b(a - 1) = 2$, donc $(a, b) = (3, 1)$ ou $(2, 2)$ ; le second est exclu car $2 \wedge 2 \neq 1$. On obtient $(9, 3)$.

• Si $d = 1$ : $b(a - 1) = 8$, donc $(a, b) \in \{(9, 1), (5, 2), (3, 4), (2, 8)\}$, et l'on exclut $(2, 8)$. On obtient $(9, 1)$, $(5, 2)$ et $(3, 4)$.

$$\boxed{\mathcal{S} = \{(9, 9b) \mid b \in \mathbb{N}^{*}\} \cup \{(9, 3), (9, 1), (5, 2), (3, 4)\}}$$ Vérification : pour $(5, 2)$, $1 + 10 = 2 + 9$ ; pour $(9, 3)$, $3 + 9 = 3 + 9$. ✓

Piège. L'erreur la plus répandue est d'oublier la condition $a \wedge b = 1$ en fin de calcul : le couple $(a, b) = (2, 8)$ donnerait $(x, y) = (2, 8)$, pour lequel $2 + 8 \neq 8 + 9$.