Exercice 18

Soit $d = a \wedge b$, $a = da'$, $b = db'$ avec $a' \wedge b' = 1$. Alors $a + b = d(a' + b')$ et $a \vee b = da'b'$ (proposition 7 (iii)), donc, d'après la proposition 5, $$(a + b) \wedge (a \vee b) = d \times \big((a' + b') \wedge a'b'\big).$$ Or $(a' + b') \wedge a' = b' \wedge a' = 1$ et de même $(a' + b') \wedge b' = 1$ (proposition 4), donc $(a' + b') \wedge a'b' = 1$ par la proposition 7 (ii). $$\boxed{(a + b) \wedge (a \vee b) = a \wedge b}$$ À retenir. Le réflexe « on divise par le PGCD » ramène presque toujours une question sur $a$ et $b$ à une question sur deux entiers premiers entre eux, où le lemme de Gauss et la proposition 7 s'appliquent.