Exercice 19

On distingue selon le reste de $n$ modulo $4$. Dans chaque cas, les deux entiers proposés sont strictement supérieurs à $1$ dès que $n > 6$, et leur PGCD divise leur différence.

• Si $n = 2k + 1$ est impair, $n = k + (k + 1)$ ; deux entiers consécutifs sont premiers entre eux.

• Si $n = 4k$, $n = (2k - 1) + (2k + 1)$ : le PGCD divise $2$, et les deux entiers sont impairs, donc il vaut $1$.

• Si $n = 4k + 2$, $n = (2k - 1) + (2k + 3)$ : le PGCD divise $4$, et les deux entiers sont impairs, donc il vaut $1$. Pour $n \geqslant 10$, on a bien $2k - 1 \geqslant 3$.

$$\boxed{n = k + (k + 1), \quad (2k - 1) + (2k + 1) \quad \text{ou} \quad (2k - 1) + (2k + 3)}$$ Piège. Pour $n = 6 = 4 + 2$, la troisième décomposition donnerait $1 + 5$, avec $1$ exclu ; et $6$ ne s'écrit ni $2 + 4$, ni $3 + 3$ avec des entiers premiers entre eux. C'est pourquoi l'énoncé impose $n > 6$.