Exercice 20

On fixe $z \in \mathbb{Z}$ et l'on résout $3x + 4y = 6 - 5z$. Le couple $(-1, 1)$ vérifie $3x + 4y = 1$, donc $\big(-(6 - 5z), \ 6 - 5z\big)$ est une solution particulière. Comme à l'exercice 14, le lemme de Gauss donne alors toutes les solutions : $x = 5z - 6 + 4k$, $y = 6 - 5z - 3k$, avec $k \in \mathbb{Z}$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{(5z - 6 + 4k, \ 6 - 5z - 3k, \ z) \mid (k, z) \in \mathbb{Z}^{2}\}}$$ Vérification : $3(5z - 6 + 4k) + 4(6 - 5z - 3k) + 5z = 6$. ✓

À retenir. Les solutions dépendent de deux paramètres entiers : c'est l'analogue, dans $\mathbb{Z}^{3}$, d'un plan, alors que les solutions de $ax + by = c$ forment une « droite » de points entiers à un paramètre.