Exercice 21

1. On écrit $x = \frac{p}{q}$ sous forme irréductible (proposition 6), avec $q \geqslant 1$. En multipliant l'équation par $q^{n}$ : $$p^{n} = -q\big(a_{n - 1}p^{n - 1} + a_{n - 2}p^{n - 2}q + \cdots + a_{0}q^{n - 1}\big).$$ Donc $q \mid p^{n}$. Comme $q \wedge p = 1$, on a $q \wedge p^{n} = 1$ (proposition 7 (ii)), et $q$, qui divise un entier avec lequel il est premier, vaut $1$. Ainsi $x \in \mathbb{Z}$, et $a_{0} = -x\big(x^{n - 1} + a_{n - 1}x^{n - 2} + \cdots + a_{1}\big)$ est un multiple de $x$. $$\boxed{x \in \mathbb{Z} \quad \text{et} \quad x \mid a_{0}}$$

2. Une solution rationnelle de $x^{3} + x + 1 = 0$ serait un diviseur de $1$, donc $\pm 1$ ; or $1 + 1 + 1 = 3$ et $-1 - 1 + 1 = -1$ ne sont pas nuls. De même, $\sqrt[3]{5}$ est solution de $x^{3} - 5 = 0$ : s'il était rationnel, ce serait un entier, compris strictement entre $1$ et $2$ puisque $1 < 5 < 8$. $$\boxed{x^{3} + x + 1 = 0 \text{ n'a pas de solution rationnelle, et } \sqrt[3]{5} \notin \mathbb{Q}}$$ À retenir. Le résultat demande que le coefficient de $x^{n}$ soit $1$ : l'équation $2x - 1 = 0$ a la solution rationnelle $\frac{1}{2}$. Le chapitre 13, sur les polynômes, en donnera la forme générale.