Exercice 22

1. Soit $d = p \wedge q$, et $p = dp'$, $q = dq'$ avec $p' \wedge q' = 1$ et $p' > q'$. Le quotient ne change pas : $$\frac{p^{2} + q^{2}}{p^{2} - q^{2}} = \frac{d^{2}(p'^{2} + q'^{2})}{d^{2}(p'^{2} - q'^{2})} = \frac{p'^{2} + q'^{2}}{p'^{2} - q'^{2}}.$$

2. Soit $\delta = (p^{2} - q^{2}) \wedge p^{2}$. Il divise $p^{2}$ et $p^{2} - (p^{2} - q^{2}) = q^{2}$. Or $p \wedge q = 1$ entraîne $p^{2} \wedge q^{2} = 1$, en appliquant deux fois la proposition 7 (ii). Donc $\delta = 1$. $$\boxed{(p^{2} - q^{2}) \wedge p^{2} = 1}$$

3. Notons $k$ l'entier $\frac{p^{2} + q^{2}}{p^{2} - q^{2}}$. Alors $2p^{2} = (p^{2} + q^{2}) + (p^{2} - q^{2}) = (k + 1)(p^{2} - q^{2})$, donc $p^{2} - q^{2}$ divise $2p^{2}$. Il est premier avec $p^{2}$ d'après la question 2, donc il divise $2$ par le lemme de Gauss. $$\boxed{p^{2} - q^{2} \mid 2}$$

4. Comme $p \geqslant q + 1$ et $q \geqslant 1$, on a $p^{2} - q^{2} \geqslant 2q + 1 \geqslant 3$, ce qui contredit la question 3. $$\boxed{\text{pour tous } p > q \geqslant 1, \ \frac{p^{2} + q^{2}}{p^{2} - q^{2}} \text{ n'est jamais un entier}}$$