Exercice 33

1. Si $n = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{r}^{\alpha_{r}}$, le théorème 6 donne $\tau(n) = (\alpha_{1} + 1) \cdots (\alpha_{r} + 1)$. Ce produit est impair si et seulement si tous les $\alpha_{i}$ sont pairs, c'est-à-dire si $n$ est un carré, comme à l'exercice 32. $$\boxed{\tau(n) \text{ impair} \iff n \text{ carré parfait}}$$

2. L'application $d \mapsto \frac{n}{d}$ est une bijection de l'ensemble des diviseurs positifs de $n$ sur lui-même, égale à sa propre réciproque. Donc $\Pi(n) = \prod_{d \mid n} \frac{n}{d}$, et $$\Pi(n)^{2} = \prod_{d \mid n} d \times \prod_{d \mid n} \frac{n}{d} = \prod_{d \mid n} n = n^{\tau(n)}.$$

3. Pour $n \geqslant 2$, l'égalité $\Pi(n) = n^{2}$ équivaut à $n^{\tau(n)} = n^{4}$, soit $\tau(n) = 4$. Comme $\tau(n) = \prod(\alpha_{i} + 1)$, il faut un seul facteur premier avec $\alpha_{1} = 3$, ou deux facteurs premiers avec $\alpha_{1} = \alpha_{2} = 1$. $$\boxed{n = p^{3} \text{ ou } n = pq, \text{ avec } p \neq q \text{ premiers}}$$ Par exemple, les diviseurs de $15$ sont $1, 3, 5, 15$, de produit $225 = 15^{2}$. ✓