Exercice 32

Pour tout nombre premier $p$, la proposition 10 donne $v_{p}(a) + v_{p}(b) = v_{p}(ab)$, qui est pair puisque $ab$ est un carré. Comme $a \wedge b = 1$, l'une des deux valuations est nulle (proposition 10 (iii)), donc l'autre est paire. Ainsi toutes les valuations de $a$ et de $b$ sont paires, et $$\boxed{a = \prod_{p} p^{v_{p}(a)} = \Big(\prod_{p} p^{v_{p}(a)/2}\Big)^{2} \quad \text{et de même pour } b}$$ Sans l'hypothèse, le résultat est faux : $2 \times 8 = 16$ est un carré, mais ni $2$ ni $8$ n'en est un. L'exercice 64 généralisera ce raisonnement aux puissances $n$-ièmes.