Exercice 24

On divise par les nombres premiers successifs. On a $2024 = 8 \times 253$ et $253 = 11 \times 23$. Ensuite, $2025 = 81 \times 25$. Enfin, $2026 = 2 \times 1013$, et $1013$ est premier : il n'est divisible par aucun des nombres premiers $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31$, qui sont tous ceux dont le carré ne dépasse pas $1013$ (proposition 8). $$\boxed{2024 = 2^{3} \times 11 \times 23, \qquad 2025 = 3^{4} \times 5^{2}, \qquad 2026 = 2 \times 1013}$$ Le théorème 6 donne le nombre de diviseurs positifs : $4 \times 2 \times 2 = 16$, puis $5 \times 3 = 15$, puis $2 \times 2 = 4$. Enfin, par la proposition 10 (iii), on prend le minimum ou le maximum des exposants. $$\boxed{\tau(2024) = 16, \qquad \tau(2025) = 15, \qquad \tau(2026) = 4}$$

$$\boxed{2024 \wedge 2026 = 2, \qquad 2024 \vee 2026 = 2^{3} \times 11 \times 23 \times 1013 = 2\,050\,312}$$ Seul $2025 = 45^{2}$ a un nombre impair de diviseurs : c'est un carré, ce que l'exercice 33 expliquera.