Exercice 27

1. Les $n$ entiers consécutifs $(n + 1)! + 2$, $(n + 1)! + 3$, …, $(n + 1)! + (n + 1)$ conviennent : pour $2 \leqslant k \leqslant n + 1$, l'entier $k$ divise $(n + 1)!$, donc $(n + 1)! + k$, qui est strictement plus grand que $k$. $$\boxed{(n + 1)! + k \text{ est divisible par } k, \text{ pour } k \in [\![2\,;n + 1]\!]}$$

2. L'entier $N = n! + 1 \geqslant 2$ admet un diviseur premier $p \leqslant N$. Si l'on avait $p \leqslant n$, alors $p$ diviserait $n!$, donc $N - n! = 1$, ce qui est absurde. $$\boxed{n + 1 \leqslant p \leqslant n! + 1}$$ Ainsi, pour tout $n$, il existe un nombre premier strictement plus grand que $n$ : l'ensemble $\mathcal{P}$ n'est pas majoré, donc il est infini. C'est une variante de la preuve d'Euclide du chapitre 1.