Exercice 26

On a $p^{2} - 1 = (p - 1)(p + 1)$, et $24 = 8 \times 3$ avec $8 \wedge 3 = 1$.

Divisibilité par $8$. Comme $p$ est impair, $p - 1$ et $p + 1$ sont deux entiers pairs consécutifs : l'un d'eux est multiple de $4$, donc leur produit est multiple de $8$.

Divisibilité par $3$. Comme $p \geqslant 5$ est premier, $3 \nmid p$, donc $p \equiv \pm 1 \;[3]$, et $3$ divise $p - 1$ ou $p + 1$.

La proposition 7 (i) conclut. $$\boxed{24 \mid p^{2} - 1}$$ Par exemple $7^{2} - 1 = 48$ et $11^{2} - 1 = 120$ ; en revanche $3^{2} - 1 = 8$, ce qui montre que l'hypothèse $p \geqslant 5$ est nécessaire.