Exercice 53

1. On note $d = n \wedge m$, et l'on raisonne par double inclusion. Comme $d$ divise $n$ et $m$, la proposition 9 du chapitre 11 donne $\mathbb{U}_{d} \subset \mathbb{U}_{n}$ et $\mathbb{U}_{d} \subset \mathbb{U}_{m}$, donc $\mathbb{U}_{d} \subset \mathbb{U}_{n} \cap \mathbb{U}_{m}$. Réciproquement, soit $z \in \mathbb{U}_{n} \cap \mathbb{U}_{m}$ ; il est non nul. La relation de Bézout (théorème 3) fournit des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $nu + mv = d$, et les règles de calcul dans le groupe $(\mathbb{C}^{*}, \times)$ (chapitre 11, proposition 4) donnent $$z^{d} = z^{nu + mv} = (z^{n})^{u}\,(z^{m})^{v} = 1.$$

$$\boxed{\mathbb{U}_{n} \cap \mathbb{U}_{m} = \mathbb{U}_{n \wedge m}}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est de croire que deux ensembles $\mathbb{U}_{n}$ et $\mathbb{U}_{m}$ distincts n'ont que $1$ en commun : $-1$ appartient à $\mathbb{U}_{4}$ et à $\mathbb{U}_{6}$, puisque $4 \wedge 6 = 2$. L'intersection se réduit à $\{1\}$ exactement lorsque $n$ et $m$ sont premiers entre eux.

2. On note $L = n \vee m$, et l'on raisonne encore par double inclusion. Si $z \in \mathbb{U}_{n}$ et $w \in \mathbb{U}_{m}$, l'entier $L$ est un multiple de $n$ et de $m$, donc $(zw)^{L} = (z^{n})^{L/n}(w^{m})^{L/m} = 1$, et $zw \in \mathbb{U}_{L}$. Réciproquement, avec $nu + mv = d$ comme à la question 1, et $L = \frac{nm}{d}$ (proposition 7 (iii)), on obtient $$\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/L} = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi d/(nm)} = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi(nu + mv)/(nm)} = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi v/n}\,\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi u/m}.$$ Pour tout $k \in \mathbb{Z}$, l'élément $\mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/L}$ de $\mathbb{U}_{L}$ s'écrit donc $\big(\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi v/n}\big)^{k}\big(\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi u/m}\big)^{k}$, produit d'un élément de $\mathbb{U}_{n}$ et d'un élément de $\mathbb{U}_{m}$. Comme tout élément de $\mathbb{U}_{L}$ est de cette forme (chapitre 4, proposition 21), on a l'inclusion réciproque. $$\boxed{\mathbb{U}_{n}\mathbb{U}_{m} = \mathbb{U}_{n \vee m}}$$

3. Lorsque $n \wedge m = 1$, la proposition 7 (iii) donne $n \vee m = nm$, et l'existence de l'écriture est la question 2. Pour l'unicité, supposons $zw = z'w'$ avec $z, z' \in \mathbb{U}_{n}$ et $w, w' \in \mathbb{U}_{m}$. Comme $\mathbb{U}_{n}$ et $\mathbb{U}_{m}$ sont des sous-groupes de $(\mathbb{C}^{*}, \times)$, le complexe $z z'^{-1} = w' w^{-1}$ appartient à $\mathbb{U}_{n} \cap \mathbb{U}_{m} = \mathbb{U}_{1} = \{1\}$, d'après la question 1. Ainsi $z = z'$, puis $w = w'$. $$\boxed{\text{si } n \wedge m = 1, \ (z, w) \longmapsto zw \text{ est une bijection de } \mathbb{U}_{n} \times \mathbb{U}_{m} \text{ sur } \mathbb{U}_{nm}}$$ L'hypothèse est indispensable : avec $n = m = 2$, on a $(-1) \times (-1) = 1 \times 1$, et l'application n'est pas injective.

4. Les sommets du dodécagone régulier inscrit dans le cercle unité et passant par le point d'affixe $1$ ont pour affixes les $\mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/12}$, c'est-à-dire les éléments de $\mathbb{U}_{12}$ (chapitre 4, proposition 21) ; de même, ceux du second polygone forment $\mathbb{U}_{18}$. On a $12 = 2^{2} \times 3$ et $18 = 2 \times 3^{2}$, donc $12 \wedge 18 = 6$ et $12 \vee 18 = 36$, et les questions 1 et 2 concluent. $$\boxed{\text{6 sommets communs, ceux de l'hexagone régulier } \mathbb{U}_{6} \ ; \quad \text{les produits forment } \mathbb{U}_{36}}$$

Les gros points sont les sommets du dodécagone, les petits ceux du polygone à $18$ côtés ; ils ne coïncident qu'aux six sommets cerclés, tous les $60$ degrés, car $60$ est le plus petit multiple commun de $30$ et de $20$.

À retenir. Par la proposition 9 du chapitre 11, l'inclusion entre les $\mathbb{U}_{n}$ est la divisibilité entre les indices. L'exercice montre que l'intersection et le produit y jouent les rôles du PGCD et du PPCM, exactement comme $a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}$ et $a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z}$ dans la définition du cours ; la question 3 annonce, sous forme multiplicative, le théorème chinois.