Exercice 54

1. On a $\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$ et $\sigma(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56$. $$\boxed{\sigma(6) = 2 \times 6 \qquad \text{et} \qquad \sigma(28) = 2 \times 28}$$

2. Les diviseurs de $p^{\alpha}$ sont $1, p, \dots, p^{\alpha}$, donc $\sigma(p^{\alpha}) = \frac{p^{\alpha + 1} - 1}{p - 1}$. Si $n = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{r}^{\alpha_{r}}$, le théorème 6 dit que les diviseurs de $n$ sont les $p_{1}^{\beta_{1}} \cdots p_{r}^{\beta_{r}}$, chacun obtenu une seule fois, avec $0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}$. En développant le produit des sommes (chapitre 3), on obtient chacun de ces termes exactement une fois. $$\boxed{\sigma(n) = \prod_{i = 1}^{r} \Big(1 + p_{i} + \cdots + p_{i}^{\alpha_{i}}\Big) = \prod_{i = 1}^{r} \frac{p_{i}^{\alpha_{i} + 1} - 1}{p_{i} - 1}}$$

3. Si $m \wedge n = 1$, aucun nombre premier ne divise à la fois $m$ et $n$ (proposition 10 (iii)). La décomposition de $mn$ s'obtient en juxtaposant celles de $m$ et de $n$, et le produit de la question 2 se scinde en deux. $$\boxed{\sigma(mn) = \sigma(m)\sigma(n)}$$

4. On pose $q = 2^{p} - 1$, premier et impair, donc premier avec $2^{p - 1}$. Par les questions 2 et 3 : $$\sigma\big(2^{p - 1}q\big) = (2^{p} - 1)(q + 1) = (2^{p} - 1) \times 2^{p} = 2 \times 2^{p - 1}(2^{p} - 1).$$

5. (a) Comme $b$ est impair, $2^{a} \wedge b = 1$, et $\sigma(2^{a}) = 2^{a + 1} - 1$. $$\boxed{\sigma(n) = (2^{a + 1} - 1)\sigma(b)}$$

(b) Comme $n$ est parfait, $(2^{a + 1} - 1)\sigma(b) = 2n = 2^{a + 1}b$. L'entier $2^{a + 1} - 1$ est impair, donc premier avec $2^{a + 1}$, et le lemme de Gauss donne $2^{a + 1} - 1 \mid b$. On écrit $b = (2^{a + 1} - 1)c$ ; en reportant et en simplifiant, $\sigma(b) = 2^{a + 1}c$. L'entier $c$, qui divise $b$, est impair.

(c) Comme $a \geqslant 1$, on a $2^{a + 1} - 1 \geqslant 3$, donc $c < b$ : les entiers $b$ et $c$ sont deux diviseurs distincts de $b$. Ainsi $\sigma(b) \geqslant b + c = 2^{a + 1}c = \sigma(b)$. L'égalité impose que $b$ et $c$ soient les seuls diviseurs de $b$. Comme $1$ en est un et que $b > 1$, on a $c = 1$, et $b$ n'a que $1$ et lui-même pour diviseurs positifs. $$\boxed{c = 1 \text{ et } b = 2^{a + 1} - 1 \text{ est premier}}$$

(d) Avec $k = a + 1$, on obtient $n = 2^{k - 1}(2^{k} - 1)$, avec $2^{k} - 1$ premier, ce qui impose aussi $k$ premier d'après l'exercice 56. $$\boxed{\text{les nombres parfaits pairs sont exactement les } 2^{k - 1}(2^{k} - 1), \text{ avec } 2^{k} - 1 \text{ premier}}$$ À retenir. Ce résultat, énoncé par Euclide pour le sens direct et démontré par Euler pour la réciproque, ramène les nombres parfaits pairs aux nombres premiers de Mersenne. On ignore toujours s'il existe un nombre parfait impair.