Exercice 52

1. Fausse. Avec $a = 4$, $b = c = 2$ : $4$ divise $bc = 4$, mais ne divise ni $b$ ni $c$. Le lemme de Gauss demande $a \wedge b = 1$, et non $a \nmid b$.

2. Vraie. Par la proposition 4, $(a + b) \wedge b = b \wedge \big((a + b) - b\big) = b \wedge a$.

3. Vraie. C'est la proposition 7 (ii).

4. Vraie. Par le lemme d'Euclide, $p \mid a$, donc $p^{2} \mid a^{2}$. On peut aussi dire que $v_{p}(a^{2}) = 2v_{p}(a)$ est un entier pair non nul, donc au moins égal à $2$.

5. Fausse. Avec $n = 3$ : $2 \equiv 2$ et $1 \equiv 4 \;[3]$, mais $2^{1} = 2$ et $2^{4} = 16 \equiv 1 \;[3]$. On peut remplacer la base par un entier congru, jamais l'exposant ; le petit théorème de Fermat dit seulement que, modulo $p$ premier, on peut réduire l'exposant modulo $p - 1$.

6. Fausse. On a $2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89$. La réciproque est vraie : si $2^{n} - 1$ est premier, alors $n$ est premier (exercice 56).

7. Vraie. Le membre de gauche est pair. Plus généralement, $6 \wedge 10 = 2$ ne divise pas $7$.

8. Vraie. C'est la proposition 8, qui fonde le crible d'Ératosthène.

9. Vraie. On a $72 = 2^{3} \times 3^{2}$ et $108 = 2^{2} \times 3^{3}$, et le théorème 6 donne $(3 + 1)(2 + 1) = 12 = (2 + 1)(3 + 1)$ diviseurs positifs.

10. Fausse. Avec $n = 8$ et $a = 3$ : $9 \equiv 1 \;[8]$, mais $3 \not\equiv \pm 1 \;[8]$. L'implication est vraie lorsque $n$ est premier, par le lemme d'Euclide appliqué à $(a - 1)(a + 1)$, comme dans l'exercice 50. $$\boxed{\text{vraies : 2, 3, 4, 7, 8, 9 ; \quad fausses : 1, 5, 6, 10}}$$