Exercice 36

On écrit $n = \sum_{k = 0}^{m} c_{k}10^{k}$ en base $10$ et l'on utilise la compatibilité des congruences avec les opérations (chapitre 2, proposition 10).

• Comme $10 \equiv 0 \;[2]$, $\;[5]$ et $\;[10]$, on a $n \equiv c_{0}$ modulo $2$, $5$ et $10$ : on regarde le dernier chiffre.

• Comme $100 \equiv 0 \;[4]$ et $1000 \equiv 0 \;[8]$, on a $n \equiv \overline{c_{1}c_{0}} \;[4]$ et $n \equiv \overline{c_{2}c_{1}c_{0}} \;[8]$ : on regarde le nombre formé par les deux, ou les trois, derniers chiffres.

• Comme $10 \equiv 1 \;[9]$, donc aussi modulo $3$, on a $n \equiv \sum c_{k}$ modulo $3$ et $9$ : on regarde la somme des chiffres.

• Comme $10 \equiv -1 \;[11]$, on a $n \equiv \sum (-1)^{k}c_{k} \;[11]$ : on regarde la somme alternée des chiffres, en partant des unités.

• Comme $2 \wedge 3 = 1$, un entier est divisible par $6$ si et seulement s'il l'est par $2$ et par $3$ (proposition 7 (i)).

Pour $14\,652$ : le nombre $52$ est divisible par $4$, mais $652 = 8 \times 81 + 4$ ne l'est pas par $8$, donc $v_{2} = 2$ et $14\,652 = 4 \times 3663$. La somme des chiffres de $3663$ vaut $18$, donc $9 \mid 3663 = 9 \times 407$, et $4 + 0 + 7 = 11$ n'est pas multiple de $3$. La somme alternée de $407$ vaut $7 - 0 + 4 = 11$, donc $407 = 11 \times 37$, et $37$ est premier. $$\boxed{14\,652 = 2^{2} \times 3^{2} \times 11 \times 37}$$