Exercice 37

1. Modulo $13$, on a $2^{6} = 64 \equiv -1$, donc $2^{12} \equiv 1$, et $3^{3} = 27 \equiv 1$. Ainsi $$2^{70} = (2^{12})^{5} \times 2^{10} \equiv 1024 \equiv 10, \qquad 3^{70} = (3^{3})^{23} \times 3 \equiv 3,$$ et $2^{70} + 3^{70} \equiv 13 \equiv 0 \;[13]$. $$\boxed{13 \mid 2^{70} + 3^{70}}$$

2. Les puissances de $2$ modulo $10$ valent $2, 4, 8, 6, 2, \dots$ : elles sont périodiques de période $4$ à partir de l'exposant $1$, puisque $2^{5} = 32 \equiv 2 \;[10]$. Comme $136\,279\,841 = 4 \times 34\,069\,960 + 1$, on a $2^{136\,279\,841} \equiv 2 \;[10]$. $$\boxed{\text{le dernier chiffre est } 1}$$

3. D'après le petit théorème de Fermat, $2^{18} \equiv 1 \;[19]$ : il suffit de connaître l'exposant $2^{6k + 2}$ modulo $18$. Or $2^{6k + 2} = 4 \times 64^{k} \equiv 4 \;[9]$, puisque $64 \equiv 1 \;[9]$, et cet entier est pair ; l'entier $2^{6k + 2} - 4$ est donc divisible par $9$ et par $2$, donc par $18$. En écrivant $2^{6k + 2} = 18j + 4$ : $$2^{2^{6k + 2}} + 3 = (2^{18})^{j} \times 2^{4} + 3 \equiv 16 + 3 = 19 \equiv 0 \;[19].$$

$$\boxed{19 \mid 2^{2^{6k + 2}} + 3}$$ À retenir. Pour calculer $a^{N}$ modulo un nombre premier $p$, on réduit d'abord l'exposant $N$ modulo $p - 1$ : c'est l'usage le plus fréquent du petit théorème de Fermat.