Exercice 38

On suit la méthode de la section 12.6.2 : si $a \wedge n = 1$, on multiplie par un inverse de $a$ modulo $n$.

(i) $5 \times 3 = 15 \equiv 1 \;[7]$, donc $x \equiv 3 \;[7]$.

(ii) $3 \times 13 = 39 \equiv 1 \;[19]$, donc $x \equiv 13 \times 4 = 52 \equiv 14 \;[19]$.

(iii) Comme $97$ est premier et ne divise pas $23$, le lemme d'Euclide donne $97 \mid x$, soit $x \equiv 0 \;[97]$.

(iv) L'égalité $105 = 13 \times 8 + 1$ montre que $-13 \equiv 92$ est un inverse de $8$ modulo $105$, d'où $$x \equiv 92 \times 7 = 644 \equiv 14 \;[105].$$

(v) Ici $4 \wedge 12 = 4$ : on ne peut pas inverser $4$. On revient à la définition : $12 \mid 4x - 8$ si et seulement si $3 \mid x - 2$.

(vi) Si $12 \mid 4x - 6$, alors $4 \mid 6$, ce qui est faux. $$\boxed{\text{(i) } x \equiv 3 \;[7] ; \ \text{(ii) } x \equiv 14 \;[19] ; \ \text{(iii) } x \equiv 0 \;[97] ; \ \text{(iv) } x \equiv 14 \;[105] ; \ \text{(v) } x \equiv 2 \;[3] ; \ \text{(vi) aucune solution}}$$ Piège. En (v), l'erreur la plus répandue est de « diviser par $4$ » en gardant le module $12$, ce qui donne $x \equiv 2 \;[12]$ et perd les solutions $x = 5$ et $x = 8$. Comme l'a montré la remarque de la section 12.6.1, on ne divise pas une congruence : on divise l'égalité $4x - 8 = 12k$, module compris.