Exercice 67

Idée. On étudie la suite modulo $3$, car l'opération $+3$ ne change pas le reste : un terme congru à $2$ fait diverger la suite, un terme multiple de $3$ la fait tourner dans $\{3, 6, 9\}$. La réponse est $a_{0} = 1$ ou $3 \mid a_{0}$.

Le cas $a_{0} = 1$. On a $\sqrt{1} = 1$, donc la suite est constante.

Un terme congru à $2$ modulo $3$. Un carré n'est jamais congru à $2$ modulo $3$. Si $a_{n} \equiv 2$, alors $a_{n + 1} = a_{n} + 3 \equiv 2$, et ainsi de suite : la suite est strictement croissante à partir de ce rang, et elle ne prend chaque valeur qu'un nombre fini de fois.

Le cas $3 \mid a_{0}$. Tous les termes sont alors multiples de $3$, car la racine d'un carré multiple de $3$ est multiple de $3$. Soit $a_{n} > 9$, et $j \geqslant 1$ tel que $(3j)^{2} < a_{n} \leqslant (3j + 3)^{2}$. En ajoutant $3$, la suite ne rencontre aucun carré avant $(3j + 3)^{2}$, puisqu'un carré multiple de $3$ est celui d'un multiple de $3$ ; elle atteint $(3j + 3)^{2}$, puis passe à $3j + 3$, qui est strictement inférieur à $a_{n}$ car $3j + 3 < 9j^{2}$. Ainsi, tant qu'un terme dépasse $9$, la suite redescend plus tard sous lui ; elle prend donc une infinité de fois une valeur de $\{3, 6, 9\}$, et l'une d'elles est prise une infinité de fois. De fait, $3 \to 6 \to 9 \to 3$ est un cycle.

Le cas $a_{0} \equiv 1 \;[3]$ et $a_{0} > 1$. Tant que les termes sont congrus à $1$, la suite avance de $3$ en $3$ jusqu'au premier carré $c^{2}$ congru à $1$, puis passe à $c$. Si $(j - 1)^{2} < a_{n} \leqslant j^{2}$, ce carré est $j^{2}$ ou $(j + 1)^{2}$, car l'un des deux entiers $j$ et $j + 1$ n'est pas multiple de $3$, donc $c \leqslant j + 1$. Si $a_{n} > 4$, on a $j \geqslant 3$, et $c \leqslant j + 1 < (j - 1)^{2} < a_{n}$ : la suite redescend strictement. Par descente, elle atteint donc un terme congru à $2$, ou bien un terme congru à $1$ compris entre $2$ et $4$, c'est-à-dire $4$, dont la racine $2$ est congrue à $2$. Dans tous les cas, on est ramené au cas divergent, et aucune valeur n'est prise une infinité de fois. $$\boxed{\text{la suite prend une valeur une infinité de fois si et seulement si } a_{0} = 1 \text{ ou } 3 \mid a_{0}}$$ Remarque sur l'énoncé. Dans la version de l'Olympiade internationale de 2017, on impose $a_{0} > 1$, et la réponse est « les multiples de $3$ ». Avec $a_{0} \in \mathbb{N}^{*}$, il faut ajouter le cas $a_{0} = 1$, qui donne une suite constante.