Exercice 30

1. Supposons qu'il n'y ait qu'un nombre fini de nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$, que l'on note $p_{1}, \dots, p_{r}$ ; on a $r \geqslant 1$, puisque $3$ en fait partie. L'entier $N = 4p_{1} \cdots p_{r} - 1$ est impair et congru à $3$ modulo $4$. Ses facteurs premiers sont impairs, donc congrus à $1$ ou $3$ modulo $4$. S'ils étaient tous congrus à $1$, leur produit $N$ le serait aussi. L'un d'eux, $q$, est donc congru à $3$ modulo $4$ : c'est l'un des $p_{i}$, qui divise alors $4p_{1} \cdots p_{r} - N = 1$. C'est absurde. $$\boxed{\text{il y a une infinité de nombres premiers } p \equiv 3 \;[4]}$$

2. Même raisonnement avec $N = 6p_{1} \cdots p_{r} - 1$, où $p_{1} = 5$, …, $p_{r}$ seraient tous les nombres premiers congrus à $5$ modulo $6$. Ni $2$ ni $3$ ne divisent $N$. Un nombre premier différent de $2$ et $3$ est congru à $1$ ou $5$ modulo $6$, et un produit de nombres congrus à $1$ l'est aussi ; comme $N \equiv 5 \;[6]$, l'un de ses facteurs premiers est congru à $5$, donc égal à un $p_{i}$, qui diviserait $1$. $$\boxed{\text{il y a une infinité de nombres premiers } p \equiv 5 \;[6]}$$ À retenir. Le même argument ne marche pas pour les nombres premiers congrus à $1$ modulo $4$ : un produit de facteurs congrus à $3$ peut être congru à $1$. L'exercice 51 traitera ce cas par une autre voie. Le résultat général, dû à Dirichlet (1837), affirme que toute progression $a + bn$ avec $a \wedge b = 1$ contient une infinité de nombres premiers.