Exercice 29

Un tel nombre qui se termine par $0$ est pair et supérieur à $10$ : il n'est pas premier. Il reste les nombres $N_{m} = \sum_{k = 0}^{m} 100^{k}$, qui comportent $m + 1$ chiffres $1$. Le nombre $N_{0} = 1$ n'est pas premier, et $N_{1} = 101$ l'est. Soit $m \geqslant 2$.

Si $m + 1 = 2j$ est pair, avec $j \geqslant 2$, on regroupe les termes deux par deux : $$N_{m} = (1 + 100)\big(1 + 10^{4} + \cdots + 10^{4(j - 1)}\big),$$ et les deux facteurs sont strictement supérieurs à $1$.

Si $m + 1$ est impair, avec $m + 1 \geqslant 3$, on note $R_{m + 1}$ le nombre formé de $m + 1$ chiffres $1$. La formule $a^{n} - b^{n}$ (chapitre 3, proposition 5) donne $$99\,N_{m} = 10^{2(m + 1)} - 1 = (10^{m + 1} - 1)(10^{m + 1} + 1) = 9R_{m + 1} \times (10^{m + 1} + 1).$$ Comme $m + 1$ est impair, $10^{m + 1} \equiv (-1)^{m + 1} = -1 \;[11]$, donc $11$ divise $10^{m + 1} + 1$, et $$N_{m} = R_{m + 1} \times \frac{10^{m + 1} + 1}{11},$$ avec $R_{m + 1} \geqslant 111$ et $\frac{10^{m + 1} + 1}{11} \geqslant 91$. $$\boxed{101 \text{ est le seul nombre premier de cette forme}}$$ Par exemple, $10\,101 = 3 \times 7 \times 13 \times 37 = 111 \times 91$, et $1\,010\,101 = 101 \times 10\,001$.