Exercice 1

1. On décompose chaque nombre pour lire les facteurs communs.

a) $12=2^{2}\times 3$ et $42=2\times 3\times 7$, d'où : $\boxed{\mathrm{PGCD}(12,42)=2\times 3=6}$

b) $45=3^{2}\times 5$ et $105=3\times 5\times 7$, d'où : $\boxed{\mathrm{PGCD}(45,105)=3\times 5=15}$

c) $92=2^{2}\times 23$ et $69=3\times 23$, d'où : $\boxed{\mathrm{PGCD}(92,69)=23}$

d) $72=2^{3}\times 3^{2}$ et $108=2^{2}\times 3^{3}$, d'où : $\boxed{\mathrm{PGCD}(72,108)=2^{2}\times 3^{2}=36}$

2. La méthode est la même dans les trois cas. Si $\mathrm{PGCD}(n,N)=d$, alors $d$ divise $n$, donc $n=d\,n'$ ; et l'on doit avoir $\mathrm{PGCD}(n',N/d)=1$.

a) $\mathrm{PGCD}(n,324)=12$ exige d'abord que $12$ divise $324$, ce qui est vrai ($324=12\times 27$). On pose $n=12n'$, la condition devient $\mathrm{PGCD}(n',27)=1$, c'est-à-dire $n'$ non divisible par $3$. Avec $n\leqslant 200$, on a $n'\leqslant 16$ : $$n'\in\{1\,;2\,;4\,;5\,;7\,;8\,;10\,;11\,;13\,;14\,;16\}$$

b) $378=54\times 7$. On pose $n=54n'$ avec $\mathrm{PGCD}(n',7)=1$, donc $n'$ non multiple de $7$. Avec $n\leqslant 500$, on a $n'\leqslant 9$ : $$n'\in\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;8\,;9\}$$

$$\boxed{n\in\{54\,;108\,;162\,;216\,;270\,;324\,;432\,;486\}}$$ On notera que $n'=7$ est exclu : il donnerait $n=378$, dont le PGCD avec $378$ vaut $378$ et non $54$.

c) $150=6\times 25$. On pose $n=6n'$ avec $\mathrm{PGCD}(n',25)=1$, donc $n'$ non multiple de $5$. Avec $n\leqslant 400$, on a $n'\leqslant 66$ : $$\boxed{n=6n' \text{ où } n'\leqslant 66 \text{ n'est pas un multiple de } 5}$$ Cela fournit $66-13=53$ valeurs, les premières étant $6$, $12$, $18$, $24$, $36$, $42$, $48$, $54$, $66$, … et la dernière $396$.