Exercice 2

Méthode commune : si $\mathrm{PGCD}(a,b)=d$, on écrit $a=da'$ et $b=db'$ avec $\mathrm{PGCD}(a',b')=1$, puis on traduit la seconde condition sur $a'$ et $b'$.

1. On pose $a=6a'$ et $b=6b'$ avec $\mathrm{PGCD}(a',b')=1$. Alors : $$ab=36a'b'=432 \qquad \text{d'où} \qquad a'b'=12$$ Les couples $(a',b')$ avec $a'<b'$, de produit $12$ et premiers entre eux, sont $(1\,;12)$ et $(3\,;4)$ — le couple $(2\,;6)$ est à écarter car $\mathrm{PGCD}(2,6)=2$. $$\boxed{(a\,;b)\in\{(6\,;72)\,;\,(18\,;24)\}}$$ Vérification : $6\times 72=432$ et $\mathrm{PGCD}(6,72)=6$ ; $18\times 24=432$ et $\mathrm{PGCD}(18,24)=6$.

2. On pose $a=18a'$ et $b=18b'$, d'où $324a'b'=7776$, soit $a'b'=24$. Les couples premiers entre eux avec $a'<b'$ sont $(1\,;24)$ et $(3\,;8)$. $$\boxed{(a\,;b)\in\{(18\,;432)\,;\,(54\,;144)\}}$$

3. On pose $a=4a'$ et $b=4b'$, d'où $4(a'+b')=24$, soit $a'+b'=6$. Les couples premiers entre eux avec $a'<b'$ sont : $(1\,;5)$ seulement, car $(2\,;4)$ a pour PGCD $2$ et $(3\,;3)$ ne vérifie pas $a'<b'$. $$\boxed{(a\,;b)=(4\,;20)}$$