Exercice 7

1. Si $\delta$ divise $a$ et $b$, il divise la combinaison linéaire $b-ka$. Réciproquement, si $\delta$ divise $a$ et $b-ka$, il divise $(b-ka)+ka=b$. Les couples $(a\,;b)$ et $(a\,;b-ka)$ ont donc les mêmes diviseurs communs, et en particulier le même plus grand : $$\boxed{\mathrm{PGCD}(a,b)=\mathrm{PGCD}(a,b-ka)}$$ La Proposition 2 du cours est le cas particulier où $k$ est le quotient de la division euclidienne de $b$ par $a$.

2. Avec $a=n+2$, $b=3n+5$ et $k=3$ : $b-3a=3n+5-3n-6=-1$. D'après la Proposition 1 : $$\mathrm{PGCD}(3n+5,n+2)=\mathrm{PGCD}(n+2,-1)=\mathrm{PGCD}(n+2,1)=\boxed{1}$$

3. On développe : $(n-1)(n+1)+4=n^{2}-1+4=n^{2}+3$. Avec $a=n+1$, $b=n^{2}+3$ et $k=n-1$ : $$\mathrm{PGCD}(n^{2}+3,n+1)=\mathrm{PGCD}(n+1,4)$$ qui est un diviseur de $4$. On discute selon le reste de $n$ modulo $4$ :

• si $n$ est pair, $n+1$ est impair : $\mathrm{PGCD}(n+1,4)=1$ ;

• si $n\equiv 1\;[4]$, $n+1\equiv 2\;[4]$ : $n+1$ est pair mais non multiple de $4$, donc $\mathrm{PGCD}(n+1,4)=2$ ;

• si $n\equiv 3\;[4]$, $n+1\equiv 0\;[4]$ : $\mathrm{PGCD}(n+1,4)=4$.

$$\boxed{\mathrm{PGCD}(n^{2}+3,n+1)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text{si } n \text{ est pair} \\ 2 & \text{si } n\equiv 1\;[4] \\ 4 & \text{si } n\equiv 3\;[4] \end{array}\right.}$$ Contrôle : pour $n=3$, $\mathrm{PGCD}(12,4)=4$ ; pour $n=5$, $\mathrm{PGCD}(28,6)=2$ ; pour $n=4$, $\mathrm{PGCD}(19,5)=1$.