Exercice 8

1. Le nombre $D$ divise $a$ et $b$, donc toute combinaison linéaire de $a$ et $b$. Cherchons une combinaison qui élimine $n$ : $$2a-5b=2(5n+1)-5(2n-1)=10n+2-10n+5=7$$ Ainsi $D$ divise $7$. Or $7$ est premier, ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $7$. $$\boxed{D=1 \quad \text{ou} \quad D=7}$$

2. On résout les deux congruences séparément.

$a\equiv 0\;[7]$ signifie $5n+1\equiv 0\;[7]$, soit $5n\equiv -1\equiv 6\;[7]$. En multipliant par $3$, qui est l'inverse de $5$ modulo $7$ puisque $5\times 3=15\equiv 1\;[7]$ : $$n\equiv 18\equiv 4\;[7]$$

$b\equiv 0\;[7]$ signifie $2n-1\equiv 0\;[7]$, soit $2n\equiv 1\;[7]$. Comme $2\times 4=8\equiv 1\;[7]$, l'inverse de $2$ est $4$ : $$n\equiv 4\;[7]$$ Les deux conditions coïncident : $$\boxed{a\equiv 0\;[7] \text{ et } b\equiv 0\;[7] \iff n\equiv 4\;[7]}$$

3. Si $n\equiv 4\;[7]$, alors $7$ divise à la fois $a$ et $b$, donc $7$ divise $D$ ; comme $D\in\{1\,;7\}$, on a $D=7$. Sinon, $7$ ne divise pas $a$, donc $D\neq 7$, et $D=1$. $$\boxed{D=\left\{\begin{array}{ll} 7 & \text{si } n\equiv 4\;[7] \\[1mm] 1 & \text{sinon} \end{array}\right.}$$ Vérification pour $n=4$ : $a=21$ et $b=7$, de PGCD $7$. Pour $n=5$ : $a=26$ et $b=9$, de PGCD $1$.