Exercice 9

Dans les trois questions, on utilise le théorème de Bézout : deux entiers sont premiers entre eux si et seulement s'il existe une combinaison linéaire d'entre eux égale à $1$.

1. On cherche à éliminer $n$ entre $a=7n+4$ et $b=5n+3$ : $$5a-7b=5(7n+4)-7(5n+3)=35n+20-35n-21=-1$$ d'où, en changeant les signes : $$(-5)\times a+7\times b=1$$ Le couple $(-5\,;7)$ convient. D'après le théorème de Bézout : $$\boxed{\text{Pour tout } n\in\mathbb{N}, \; a \text{ et } b \text{ sont premiers entre eux}}$$

2. Soient $n$ et $n+1$ deux entiers consécutifs non nuls. Alors : $$1\times(n+1)+(-1)\times n=1$$

3. Soient $2n+1$ et $2n+3$ deux entiers impairs consécutifs, et $d$ leur PGCD. Alors $d$ divise leur différence : $$(2n+3)-(2n+1)=2$$ donc $d$ divise $2$, c'est-à-dire $d=1$ ou $d=2$. Mais $d$ divise $2n+1$, qui est impair : $d$ ne peut donc pas valoir $2$. $$\boxed{\text{Deux entiers impairs consécutifs sont premiers entre eux}}$$