Exercice 10

Une fraction $\dfrac{p}{q}$ est irréductible si et seulement si $\mathrm{PGCD}(p,q)=1$. On exhibe donc à chaque fois une combinaison linéaire égale à $1$ (théorème de Bézout).

a) $$(-2)\times n+1\times(2n+1)=-2n+2n+1=1$$

b) $$2\times(9n+1)-3\times(6n+1)=18n+2-18n-3=-1$$ d'où $(-2)(9n+1)+3(6n+1)=1$ : $$\boxed{\mathrm{PGCD}(9n+1,6n+1)=1 : \text{la fraction est irréductible}}$$

c) $$5\times(14n+3)-14\times(5n+1)=70n+15-70n-14=1$$

Le procédé est toujours le même : on multiplie les deux expressions par les coefficients croisés de $n$, de façon à faire disparaître $n$ dans la différence.